Quotiëntregel

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 6 van de 8 onderzochte examenjaren, als rekenstap in het correctievoorschrift van een raaklijn-, extreem- of bewijsvraag.

Wat moet je kunnen?

• Een breukfunctie differentiëren met de quotiëntregel.
• De afgeleide vereenvoudigen tot een handige vorm (teller uitwerken, noemer laten staan).
• De regel combineren met de Kettingregel en met goniometrische of $e$-functies.

De kern

${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }\cdot g-f\cdot g^{\prime }}{g^2}$

• Ezelsbruggetje: “noemer maal afgeleide teller min teller maal afgeleide noemer, gedeeld door noemer in het kwadraat”.
• Laat de noemer $g^2$ meestal staan; werk alleen de teller uit.
• $f^{\prime }(x)=0$ bij een breuk betekent: de teller is 0 (en de noemer niet).
• Is de teller een constante, dan kan het ook als macht: $\frac{3}{x^2}=3x^{-2}$ (zie Standaardafgeleiden).

Zo wordt het gevraagd

• $f(x)=\frac{x^2-2x}{x-3}$ differentiëren voor de rc van een raaklijn in $x=0$ (2023-2 vraag 1).
• $\frac{dy}{dx}$ van $y=\frac{2x}{x-5}$ (2024-2 vraag 11).
• $f(x)=\frac{1-2\sin x}{1+\cos x}$ in een extreemvraag (2026-1 vraag 14).
• $f(x)=\frac{\sin x}{\sin 2x}$, met de kettingregel in de noemer (2022-1 vraag 8).

Uitgewerkt voorbeeld

Raaklijn aan een breukfunctie (examenstijl, vergelijk 2023-2 vraag 1)

$f(x)=\frac{x^2-2x}{x-3}$. Bereken de rc van de raaklijn in $x=0$.

1. $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-2)(x-3)-(x^2-2x)\cdot 1}{(x-3{)}^2}$
2. $f^{\prime }(0)=\frac{(-2)(-3)-0}{9}=\frac{6}{9}=$ $\frac{2}{3}$

Uitwerken tot één term (examenstijl, vergelijk 2024-2 vraag 11)

$y=\frac{2x}{x-5}$ $\frac{dy}{dx}=\frac{2(x-5)-2x\cdot 1}{(x-5{)}^2}=$ $\frac{-10}{(x-5{)}^2}$

De afgeleide is overal negatief: de grafiek daalt op elk interval van het domein.

Valkuilen

• De teller omdraaien ($f\cdot g^{\prime }-f^{\prime }\cdot g$) en zo het teken fout krijgen.
• De noemer niet kwadrateren.
• Haakjes vergeten om $f$ en $g$ als die uit meerdere termen bestaan.

Test jezelf

Differentieer $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$.

$f^{\prime }(x)=\frac{2x(x+1)-x^2}{(x+1{)}^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1{)}^2}$.

Waar heeft $f(x)=\frac{x^2}{x+1}$ een horizontale raaklijn?

Teller 0: $x(x+2)=0$, dus $x=0$ en $x=-2$.

Differentieer $g(x)=\frac{e^x}{x}$.

$g^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x-e^x}{x^2}=\frac{e^x(x-1)}{x^2}$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2023 tijdvak 2, vraag 1: rc van een raaklijn (3p)
• 2024 tijdvak 2, vraag 11: $\frac{dy}{dx}$ van een breuk (3p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 14: goniometrisch quotiënt (6p)
• 2022 tijdvak 1, vraag 8: quotiënt met kettingregel (8p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 6 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2026 — 75%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 14 (6p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel, f(x)=(1−2sin(x))/(1+cos(x)) is een quotiënt van twee functies; f’(x) wordt opgesteld via de quotiëntregel: ((1+cos(x))·2cos(x)−(1−2sin(x))·(−sin(x)))/(1+cos(x))².
  • Komt 1× voor, essentiële rekenstap (2 van de 6 scorepunten).
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 11 (3p): kernonderdeel — zichtbaar in correctievoorschrift, dy/dx van y=2x/(x−5) via [2(x−5)−1·2x]/(x−5)².
  • Komt 1× voor, volledige vraag (3p) hangt hiervan af.
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 1 (3p): kernonderdeel, zichtbaar in correctievoorschrift — f(x) = (x²−2x)/(x−3), f’(x) = ((2x−2)(x−3) − (x²−2x))/(x−3)² via de quotiëntregel, ingevuld op x=0 geeft de richtingscoëfficiënt van raaklijn l.
  • Opmerking in correctievoorschrift: “Als in het eerste antwoordelement de productregel, quotiëntregel of kettingregel is gebruikt, maar niet correct, mag voor dit antwoordelement maximaal 1 scorepunt worden toegekend.” Dezelfde opmerking staat ook bij vraag 12.
  • Komt 1× expliciet voor als hoofdtechniek (volledige vraag, 3p), en wordt in de opmerking bij vraag 12 nogmaals genoemd als mogelijk (foutief) alternatief.
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 8 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift — kernonderdeel, f(x) = sin(x)/sin(2x), f’(x) = [cos(x)·sin(2x) − sin(x)·2cos(2x)] / sin²(2x).
  • Komt 1× voor, essentiële rekenstap (2 van de 8 scorepunten).
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 7 (8p): zichtbaar in correctievoorschrift (alt. methode) — R(p) = p²/e^(2p) gedifferentieerd met de quotiëntregel, dR/dp = (2p·e^(2p) − 2p²·e^(2p))/(e
  • Komt 1× voor, als alternatieve differentiatieroute naast productregel/kettingregel.
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 12 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — f_p’(x) = (x²·3x² − (x³+4p)·2x)/x⁴ herleid uit f_p(x) = (x³+4p)/x², expliciete quotiëntregelvorm.
  • Komt 1× voor, noodzakelijke rekenstap (1 van de 5 scorepunten specifiek voor de correcte afgeleide).
• 2021 tijdvak III
  • Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — d/dT[T/(T−1)] wordt expliciet uitgewerkt als [1·(T−1) − T·1] / (T−1)² = −1/(T−1)², een directe quotiëntregel-toepassing binnen het grotere bewijs.
  • Komt 1× voor, tussenstap (1 van de 5 scorepunten expliciet hiervoor).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 7 (5p): zichtbaar in correctievoorschrift — A = 432V / (V⁴/150⁴ + 1) differentiëren als quotiënt, dA/dV via (f’·g − f·g’)/g².
  • Komt 1× voor, kernstap van de hele vraag (het grootste deel van de 5 scorepunten hangt hiervan af).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Standaardafgeleiden
• Productregel

Onderwerpen die dit ondersteunt

• (geen)