Exponentiële functie

Prioriteit: 🔴 Hoog

In 7 van de 8 onderzochte examenjaren, vaak als contextmodel (afkoelen, wachttijd, stuiteren) of als $e$-macht in een analysevraag.

Wat moet je kunnen?

• Beginwaarde en groeifactor bepalen uit een formule, tabel of context.
• Exponentiële vergelijkingen exact oplossen met $\ln$ of ${}^g\log$.
• Werken met modellen als $T(t)=A+(T_0-A)e^{ct}$: asymptoot en betekenis van de parameters.
• Halverings- of verdubbelingstijd berekenen.

De kern

Begrip	Formule
model	$f(x)=a\cdot g^x$ of $a\cdot e^{kx}$ (met $g=e^k$)
groeipercentage	$(g-1)\cdot 100\%$
verdubbelingstijd	$\frac{\ln 2}{\ln g}$
halveringstijd	$\frac{\ln \frac{1}{2}}{\ln g}$
asymptoot van $A+B{e}^{ct}$ ($c<0$)	$y=A$

• Afgeleide: $(e^{kx}{)}^{\prime }=k{e}^{kx}$, $(g^x{)}^{\prime }=g^x\ln g$ (zie Standaardafgeleiden).
• Inverse: de Logaritmische functie.

Zo wordt het gevraagd

• Afkoelmodel $T(t)=A+(T_0-A)e^{ct}$ en $T_I(t)=20+75e^{-0,2t}$ (2026-2 vraag 4–5, 6p + 6p).
• Model $T_n=0,9\cdot 0,8^n$ voor de tijd tussen stuiten (2026-1 vraag 9).
• Wachttijdmodel $f(t)=50e^{-\frac{1}{2}t}$ (2024-1 vraag 3 en 5).
• $f_a(x)=e^{ax}$ en haar inverse (2024-2 vraag 15–16).

Uitgewerkt voorbeeld

Wanneer is het 50 °C? (examenstijl, vergelijk 2026-2 vraag 5)

$T(t)=20+75e^{-0,2t}$ ($t$ in minuten).

1. $20+75e^{-0,2t}=50\Rightarrow e^{-0,2t}=\frac{30}{75}=0,4$
2. $-0,2t=\ln 0,4\Rightarrow t=-5\ln 0,4\approx 4,58$ minuten

Controle: de asymptoot is $y=20$ (kamertemperatuur) en $T(0)=95$. ✓

Halveringstijd (examenstijl, vergelijk 2026-1 vraag 9)

$T_n=0,9\cdot 0,8^n$. Na hoeveel stuiten is de tijd gehalveerd? $0,8^n=\frac{1}{2}\Rightarrow n=\frac{\ln 0,5}{\ln 0,8}\approx 3,1$: na ruim 3 stuiten.

Valkuilen

• Groeifactor en groeipercentage verwarren (1,05 is 5%).
• Bij $A+B{e}^{ct}$ de asymptoot $y=0$ nemen in plaats van $y=A$.
• $e^{-0,2t}=0,4$ oplossen als $t=\frac{0,4}{-0,2}$.

Test jezelf

$f(0)=3$ en $f(2)=12$ bij $f(x)=a\cdot g^x$. Bereken $a$ en $g$.

$a=3$; $3g^2=12\Rightarrow g=2$.

Een hoeveelheid groeit met 5% per jaar. Wat is de groeifactor?

$g=1,05$.

Examenvragen om te oefenen

Doe deze vragen uit echte examens

• 2026 tijdvak 2, vraag 4–5: afkoelmodel met e-machten (6p + 6p)
• 2026 tijdvak 1, vraag 9: stuitermodel $0,9\cdot 0,8^n$ (7p)
• 2024 tijdvak 1, vraag 3 en 5: wachttijdmodel $50e^{-\frac{1}{2}t}$ (3p + 4p)

Alle vindplaatsen

Aangetroffen in 7 van de 8 onderzochte examenjaren (2018–2026, 2020: geen examen gehouden): 2018, 2019, 2021, 2022, 2023, 2024, 2026 — 87,5%.

• 2026 tijdvak I
  • Vraag 9 (7p): in vraagstelling — Tn=0,9·0,8ⁿ is een exponentieel model voor de tijdsduur tussen stuiten, gebruikt om tK en tL te berekenen.
  • Vraag 16 (6p): in vraagstelling — f(x)=e⁻ˣ−e⁻²ˣ.
  • Vraag 17 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — L_p bevat e⁻²ᵖ, e⁻³ᵖ, e⁻⁴ᵖ; limietgedrag voor p→∞.
  • Komt 3× terug, dominant thema van opgave “Begrensde inhoud” en ondersteunend in “Stuiterbal”.
• 2026 tijdvak II
  • Vraag 4 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, T(t) = A + (T₀−A)·e^(ct), model voor afkoelen/opwarmen van een thermosfles.
  • Vraag 5 (6p): in vraagstelling — kernonderdeel, TI(t) = 20+75e^(−0,2t) en TTh(t) = 20+75e
  • Frasering: “kan worden berekend met de formule T(t) = …”. Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Thermosflessen” (12 scorepunten samen).
• 2024 tijdvak I
  • Vraag 3 (3p): in vraagstelling — Erlang-wachttijdmodel f(t) = 50e
  • Vraag 4 (3p): in vraagstelling — algemene vorm y = teᵃᵗ met primitieve in exponentiële vorm.
  • Vraag 5 (4p): in vraagstelling — zelfde model f(t) = 50e^(−½t), gemiddelde berekenen.
  • Vraag 15 (2p): in vraagstelling — a = 0,4+0,3·2^(n−2) (Wet van Titius-Bode).
  • Komt 4× terug, dominant thema van opgave “Wachttijden” plus opgave “Vereenvoudigde sterrenkunde”.
• 2024 tijdvak II
  • Vraag 15 (5p): in vraagstelling — kernonderdeel, fa(x)=e
  • Vraag 16 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, punten op de grafiek van fa en haar inverse.
  • Komt 2× terug, dominant thema van opgave “Lijnstukken bij een exponentiële functie” (12 scorepunten samen).
• 2023 tijdvak I
  • Vraag 17 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = 1/(eˣ+1), opgavetitel “Exponentiële breuk”.
  • Vraag 18 (3p): in vraagstelling/correctievoorschrift — primitieve F(x)=x−ln(eˣ+1) van dezelfde exponentiële-breukfunctie.
  • Vraag 19 (4p): in vraagstelling — zelfde functie f, oppervlakte-bewijs met grens ln(2).
  • Komt 3× terug, dominant thema van de hele opgave “Exponentiële breuk” (10 scorepunten samen).
• 2023 tijdvak II
  • Vraag 7 (4p): kernonderdeel — f(x) = eˣ−1 en g(x) = 3(1−e⁻ˣ); vergelijking f(x) = g(x) exact oplossen via substitutie p = eˣ, leidt tot p²−4p+3 = 0.
  • Vraag 8 (4p): kernonderdeel — oppervlakte tussen de twee e-machtfuncties.
  • Vraag 9 (3p): kernonderdeel — perforatie van h(x) = f(x)/g(x), met limietberekening bij x→0.
  • Frasering: “De functies f en g worden gegeven door f(x) = eˣ−1 en g(x) = 3(1−e⁻ˣ).” Dominant thema van de hele opgave “Twee e-machten” (11 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak I
  • Vraag 1 (3p): in vraagstelling — g_p(x) = e^(x/p), inverse van f_p.
  • Vraag 2 (5p): in vraagstelling — grafiek van g_{-1} gebruikt.
  • Vraag 3 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — g_p(x) = e^(x/p) gebruikt bij het bepalen van p.
  • Komt 3× terug (12 scorepunten samen).
• 2022 tijdvak II
  • Vraag 6 (4p): zichtbaar in correctievoorschrift — de term 0,8ⁿ in T(n) en de afgeleide daarvan (−ln(0,8)·0,8ⁿ).
  • Vraag 7 (4p): in vraagstelling/correctievoorschrift — formule 3 is afgeleid van formule 2, die de term (1−p)ⁿ bevat.
  • Vraag 8 (3p): in vraagstelling — kernonderdeel, vergelijking met (1−0,025)⁷ oplossen voor N.
  • Vraag 16 (5p): in vraagstelling — f(x)=x·eˣ, punten P en Q met e^p en e
  • Komt 4× terug: bij “Efficiënt testen” via de factor (1−p)ⁿ/0,8ⁿ, en bij “Twee punten op een grafiek” via eˣ.
• 2022 tijdvak III
  • Vraag 7 (8p): in vraagstelling — f(x)=e^x, punt P(p, e^p) op de grafiek, vierkanten V en W opgebouwd rond dit punt.
  • Komt 1× voor, basis van de volledige opgave “Vierkanten bij een exponentiële functie” (8p).
• 2021 tijdvak I
  • Vraag 7 (6p): in vraagstelling — model N = 10^(a−bM), vorm a·g^x met grondtal 10 en exponent −bM.
  • Komt 1× voor, volledige vraag (6p).
• 2021 tijdvak II
  • Vraag 8 (4p): in vraagstelling — bij groeipercentage p hoort groeifactor (1+p/100), exponentiële groei van het spaarbedrag, basis van de “Bankenformules”-opgave.
  • Komt 1× voor, kernonderdeel (4p).
• 2019 tijdvak II
  • Vraag 10 (7p): in vraagstelling — kernonderdeel, f(x) = (e^(2x) − 1000)/(e^x − 10), horizontale asymptoot via lim_{x→−∞} e^x = 0 en lim_{x→−∞} e^(2x) = 0.
  • Komt 1× voor, volledige (en zwaarste) vraag van dit tijdvak (7p).
• 2018 tijdvak I
  • Vraag 3 (4p): in vraagstelling — kernonderdeel van de hele opgave, f_a(x)=x·e^(ax) voor elke a≠0.
  • Vraag 10 (4p): in vraagstelling — “kettinglijn” f_k(x)=(1/2k)(e^(kx)+e
  • Vraag 11 (5p): in vraagstelling/correctievoorschrift — kernonderdeel, functievoorschrift van h opgesteld met dezelfde e-macht-vorm.
  • Komt 3× terug, dominant thema van de opgaven “Lijn door de toppen” en “Sheffield Winter Garden” (13 scorepunten samen).

---

Ondersteunende onderwerpen

• Functievoorschrift
• Karakteristieke eigenschappen van functies

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Logaritmische functie
• Standaardafgeleiden
• Vergelijkingen met standaardfuncties oplossen