Poolcoördinaten en de formule van Euler

Prioriteit: 🟢 Laag

SE-3 · weging 33⅓% · hoofdstuk 10. “Schrijf met poolcoördinaten”, “Schrijf in de vorm z = a + bi. Geef exacte antwoorden”, “Schrijf in de vorm z = re^(iφ)” (diagnostische toets 6–9). Nodig voor complexe wortels en voor H16. H10 staat niet in de planner van dit jaar; op aanwijzing van de leerling meegenomen.

Wat moet je kunnen?

• Poolcoördinaten $(r,\theta )$ omrekenen naar cartesische coördinaten en andersom.
• Een complex getal schrijven in de drie notaties: $a+bi$, $r(\cos \phi +i\sin \phi )$ en $r{e}^{i\phi }$.
• De exacte waarden van $\cos$ en $\sin$ gebruiken (exacte-waarden-cirkel).
• De machtreeksen van $e^x$, $\sin (x)$ en $\cos (x)$ gebruiken om de formule van Euler te begrijpen.

De kern

Poolcoördinaten van $P$: de afstand $r$ tot $O$ en de draaiingshoek $\theta$ met $-\pi <\theta \le \pi$. $x_P=r\cos (\theta )y_P=r\sin (\theta )r=\sqrt{x_P^2+y_P^2}\tan (\theta )=\frac{y_P}{x_P}$

Machtreeksen $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots \sin (x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots \cos (x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots$ Vul $ix$ in bij $e^x$ en sorteer op termen met en zonder $i$: dan volgt $e^{ix}=\cos (x)+i\sin (x)$.

Formule van Euler: $e^{i\phi }=\cos (\phi )+i\sin (\phi )$. Speciaal geval: $e^{i\pi }+1=0$.

Drie notaties van één complex getal

notatie	vorm	met
I	$z=a+bi$	$a=\text{Re}(z)$, $b=\text{Im}(z)$
II	$z=r(\cos \phi +i\sin \phi )$	$r=|z|$, $\phi =\arg (z)$
III	$z=r{e}^{i\phi }$	$r=|z|$, $\phi =\arg (z)$

Van III naar I: $r{e}^{i\phi }=r\cos \phi +ir\sin \phi$. Van I naar III: bereken $|z|$ en $\arg (z)$ (let op het kwadrant, zie Het complexe vlak).

Zo wordt het gevraagd

• “Schrijf de volgende getallen met poolcoördinaten. Rond het argument af op twee decimalen.” (diagnostische toets 6, opgave 35).
• “Schrijf in de vorm z = a + bi. Geef exacte antwoorden.” (diagnostische toets 7–8, opgave 38, 43).
• “Schrijf in de vorm z = re^(iφ).” (diagnostische toets 9, opgave 44, 46).
• “Toon aan dat sin(x) = (e^(ix) − e^(−ix))/(2i).” (opgave D49).

Uitgewerkt voorbeeld

Tussen de notaties wisselen (vergelijk H10 diagnostische toets 7–9)

7a $z=3\left(\cos (\frac{2}{3}\pi )+i\sin (\frac{2}{3}\pi )\right)=3\left(-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)=-1\frac{1}{2}+1\frac{1}{2}i\sqrt{3}$

8a $z=10e^{\frac{1}{3}\pi i}=10\left(\cos (\frac{1}{3}\pi )+i\sin (\frac{1}{3}\pi )\right)=10\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}i\sqrt{3}\right)=5+5i\sqrt{3}$

8c $z=\frac{3}{e^{-\frac{1}{6}\pi i}}=3e^{\frac{1}{6}\pi i}=3\left(\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}i\right)=1\frac{1}{2}\sqrt{3}+1\frac{1}{2}i$

9a $z=3+3i$: $|z|=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2}$ en $\arg (z)=\frac{1}{4}\pi$, dus $z=3\sqrt{2}{e}^{\frac{1}{4}\pi i}$.

9b $z=-2$: $|z|=2$ en $\arg (z)=\pi$, dus $z=2e^{\pi i}$.

Controle met sympy ✓

Afgerond (vergelijk H10 diagnostische toets 6a)

Schrijf $z=5-12i$ met poolcoördinaten; rond het argument af op twee decimalen. $|z|=\sqrt{25+144}=13$ en de GR geeft $\arg (z)\approx -1,18$. Dus $z=13\left(\cos (-1,18)+i\sin (-1,18)\right)$.

Valkuilen

• De GR in graden laten staan. In dit hoofdstuk reken je in radialen (behalve §10.5).
• Bij $\frac{3}{e^{-\frac{1}{6}\pi i}}$ het minteken in de exponent niet omdraaien: $\frac{1}{e^{i\phi }}=e^{-i\phi }$.
• $e^{i\phi }$ vermenigvuldigen met $r$ en dan $r$ ook in de exponent zetten.
• Bij notatie II vergeten dat $r$ voor beide termen staat.

Test jezelf

Schrijf $z=2\sqrt{2}\left(\cos (\frac{1}{4}\pi )+i\sin (\frac{1}{4}\pi )\right)$ in de vorm $a+bi$.

$2\sqrt{2}\cdot \frac{1}{2}\sqrt{2}=2$, dus $z=2+2i$.

Schrijf $z=8e^{\frac{1}{6}\pi i}$ in de vorm $a+bi$.

$8(\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}i)=4\sqrt{3}+4i$.

Schrijf $z=\frac{1}{2}\sqrt{2}-\frac{1}{2}i\sqrt{2}$ in de vorm $r{e}^{i\phi }$.

$|z|=\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}=1$ en $\arg (z)=-\frac{1}{4}\pi$, dus $z=e^{-\frac{1}{4}\pi i}$.

Oefenen

Goede opgaven om te oefenen

• H10 opgave 31–A33 · uitwerking: poolcoördinaten van punten
• H10 opgave 35–36 · uitwerking: complexe getallen met poolcoördinaten
• H10 opgave 37–A39 · uitwerking: terug naar $a+bi$, exact
• H10 opgave 43–46 · uitwerking: notatie $r{e}^{i\phi }$
• H10 opgave A48–D49 · uitwerking: gemengd, $\sin$ en $\cos$ in $e^{ix}$
• H10 diagnostische toets 6–9 · uitwerking: toetsniveau

Bronnen

• Voorkennis: De exacte-waarden-cirkel (blz. 40–41)
• §10.3 Theorie A: Poolcoördinaten (blz. 56), met Voorbeeld (blz. 57)
• §10.3 Theorie B: Poolcoördinaten van een complex getal (blz. 58), met Voorbeeld
• §10.3 Theorie C: De formule van Euler (blz. 60–61), met Voorbeeld
• Terugblik §10.3 (blz. 63)
• Diagnostische toets 6–9 (blz. 76)

---

Ondersteunende onderwerpen

• Het complexe vlak
• Radialen
• Symmetrie-eigenschappen van goniometrische functies (exacte waarden)

Onderwerpen die dit ondersteunt

• Complexe e-machten en complexe wortels
• Differentiaalvergelijkingen van de tweede orde